Elettrotecnica by lorenzoarlo
Analisi di circuiti in corrente continua
keyboard_double_arrow_right

Teoremi di rete

Definizione - Teorema di Tellegen

La sommatoria delle potenze dissipate è uguale alla sommatoria delle potenze assorbite, ovvero \[ \sum_{i = 1}^n P_{G, i} = \sum_{i = 1}^n P_{A, i} \] Questo teorema è un'estensione del principio di conservazione delle potenze istantanee.

Nota bene - Ad esempio

Considerando il seguente circuito
Immagine
si ha che la potenza generata \( P_G\) (dal generatore) è uguale a \[ \begin{array}{ccl} P_G(t) & = & e \cdot i(t) \\ & = & e \cdot \frac{e}{R} \\ & = & \frac{e^2}{R} \end{array} \] mentre la potenza assorbita \( P_A\) (dalla resistenza) è uguale a \[ \begin{array}{ccl} P_A(t) & = & v_R(t) \cdot i(t) \\ & = & e \cdot i(t) \\ & = & e \cdot \; {}^{e} /_{R\;} \\ & = & \frac{e^2}{R} \end{array} \] che è uguale alla potenza generata.

Definizione - Proprietà di linearità

Una funzione \( f\) si dice lineare se sono valide le seguenti proprietà:
  • l'additività, ovvero \[ f(a + b) = f(a) + f(b) \]
  • l'omogeneità, ovvero \[ f(c \cdot x) = c \cdot f(x) \]

Definizione - Circuto lineare

Un circuito si definisce lineare se è caratterizzato da equazioni costitutive che sono funzioni lineari.

Definizione - Teorema della sostituzione

Considerando due circuiti in cui:
  • interagiscono solo tensione \( v(t)\) e corrente \( i(t)\);
  • non esistono accoppiamenti (non esistono, ad esempio, nel primo circuito generatori dipendenti da punti del secondo) di alcun tipo;
  • vi è un'unica soluzione;
Immagine
allora, considerando un lato di tensione \( v(t)\) e corrente \( i(t)\), è possibile sostituire il lato con un generatore (di corrente o di tensione) indipendente con stessa corrente (o tensione).

Definizione - Teorema della sovrapposizione degli effetti

Considerando un circuito lineare, le variabili del circuito (dette effetti) possono essere calcolate come la sommatoria degli effetti dovute alle singole cause.

Nota bene - La potenza non è lineare

Se il teorema di sovrapposizione degli effetti è valido per la corrente e la tensione (che sono legate da una relazione lineare), non lo è per la potenza (che non lo è).

Esempio - Applicazione del teorema della sovrapposizione degli effetti

expand_more

Dimostrazione - Teorema di Thevenin

Dato il teorema

Enunciato:

Considerando un circuito composto da una rete ed un carico, dove:
  • la rete è lineare;
  • non esistono accoppiamenti;
allora è possibile sostituire la rete con un generatore di tensione equivalente di Thevenin in serie ad una resistenza equivalente di Thevenin
Immagine
dove, la tensione equivalente \( E_{eq, Th}\) è la tensione ai morsetti del carico a circuito aperto (ottenuto cioè "scollegando il carico")
Immagine
mentre la resistenza equivalente \( R_{eq,Th}\) è la resistenza equivalente vista dal carico (ottenuta passivando i generatori).

Dimostrazione:visibility_off

Per dimostrare questo teorema, consideriamo il generico circuito interponendo tra i morsetti un generatore di corrente (ricordando che mantiene la convenzione dell'utilizzatore in quanto sta sostituendo un carico)
Immagine
Al fine di calcolare la tensione \( v(t)\) è possibile utilizzare il teorema di sovrapposizione degli effetti.
Considerando ora di passivare il generatore di corrente, si ottiene un circuito aperto tra A e B
Immagine
in cui si ha che \( v'(t)\) coincide esattamente con \( E_{eq,Th}\).
Considerando ora di passivare la rete, si ottiene che equivale ad un resistore di resistenza \( R_{eq,Th}\)
Immagine
e, applicando LKT si ottiene che \[ \begin{array}{ccl} v''(t) & = & -v_R(t) \\ & = & -R_{eq, Th} \cdot I \end{array} \] considerando la legge di Ohm.
Ricordando il teorema di sovrapposizione degli effetti, si ha che \[ \begin{array}{ccl} v(t) & = & v'(t) + v''(t) \\ & = & E_{eq, Th} - R_{eq, Th} \cdot I \end{array} \] che è esattamente la tensione ai morsetti AB nel circuito equivalente di Thevenin con quel carico.

Esempio - Applicazione del teorema di Thevenin

expand_more

Dimostrazione - Teorema di Norton

Dato il teorema

Enunciato:

Considerando un circuito composto da una rete con capi A e B, dove:
  • la rete è lineare;
  • non esistono accoppiamenti esterni;
allora la rete è equivalente ad un generatore di corrente equivalente di Norton in parallelo ad una resistenza equivalente di Norton con capi A e B
Immagine
dove, la corrente equivalente \( I_{eq, Nt}\) è la corrente di cortocircuito tra i morsetti A e B (ovvero la rete con interposto ai capi A e B un cortocircuito)
Immagine
mentre la resistenza equivalente \( R_{eq, Nt}\) è la resistenza equivalente vista da A e B (ottenuta passivando i generatori).

Dimostrazione:visibility_off

Per dimostrare questo teorema, consideriamo di interporre ai morsetti A e B un generatore di tensione (ricordando che mantiene la convenzione dell'utilizzatore in quanto sta sostituendo un carico)
Immagine
Al fine di calcolare la corrente \( i(t)\) è possibile utilizzare il teorema di sovrapposizione degli effetti.
Considerando ora di passivare il generatore di tensione, si ottiene un cortocircuito tra A e B
Immagine
in cui si ha che \( i'(t)\) coincide esattamente con \( I_{eq,Nt}\).
Considerando ora di passivare la rete, si ottiene che equivale ad un resistore di resistenza \( R_{eq,Nt}\)
Immagine
e, applicando LKT, si ottiene che \[ v_R(t) = -E \] Applicando la legge di Ohm a \( v_R(t)\) si ha che \[ R_{eq, Nt} \cdot i''(t) = -E \] Da ciò, è possibile dedurre che \[ i''(t) = \; {}^{-E} /_{R_{eq, Nt}\;} \] Ricordando il teorema di sovrapposizione degli effetti, si ha che \[ \begin{array}{ccl} i(t) & = & i'(t) + i''(t) \\ & = & I_{eq, Nt} - \frac{E}{R_{eq,Nt}} \end{array} \] che è esattamente la corrente \( I\) del circuito equivalente.

Definizione - Relazione tra circuito equivalente di Thevenin e circuito equivalente di Norton

Considerando uno stesso circuito, esiste una relazione tra il circuito equivalente di Thevenin e quello di Norton applicati agli stessi nodi. Si ha infatti che:
  • la resistenza equivalente di Thevenin è equivalente alla resistenza equivalente di Norton, ovvero \[ R_{eq, Th} = R_{eq, Nt} = R_{eq} \]
  • la relazione tra la tensione equivalente di Thevenin e la corrente equivalente di Norton è la seguente \[ E_{eq, Th} = I_{eq, Nt} \cdot R_{eq} \]

Esempio - Applicazione del teorema di Norton

expand_more

Dimostrazione - Teorema del massimo trasferimento di potenza

Dato il teorema

Enunciato:

Considerando un generatore reale (o un bipolo equivalente di Thevenin) a cui è collegato un carico
Immagine
si ha che affinchè la potenza assorbita da \( R_L\) sia massima, allora si deve avere che \[ R_L = R \] Inoltre, la potenza massima assorbita è pari a \[ P_{L, max} = \frac{E^2}{4 \cdot R} \]

Dimostrazione:visibility_off

Per dimostrare questo teorema, consideriamo che al fine di calcolare la potenza assorbita da \( R_L\) è necessario calcolare \[ \begin{array}{ccl} P_L & = & R_L \cdot I^2 \\ & = & R_L \cdot \left( \frac{E}{R + R_L} \right)^2 \end{array} \] Da questa relazione, è possibile calcolare la potenza in due casi limite:
  • nel caso sia presente un cortocircuito, ovvero \( R_L \to 0\), si ha che la potenza assorbita è nulla \[ \text{se} \ R_L \to 0 \qquad \implies \qquad P_L = 0 \]
  • nel caso sia presente un circuito aperto, ovvero \( R_L \to +\infty\), si ha che la potenza assorbita è nulla.
Dato che è una funzione crescente in \( 0\), si ha che è lecito domandarsi il valore \( R_L\) per cui la potenza assorbita sia massima.
A questo fine, calcoliamo la derivata di \( P_L\) rispetto a \( R_L\) al fine di calcolare il punto di massimo \[ \begin{array}{ccl} \frac{d}{d R_L} P_L & = & \frac{d}{d R_L} \left[ R_L \cdot \left( \frac{E}{R + R_L} \right)^2 \right] \\ & \overset{x = R_L}{=} & \frac{d}{d x} \left[ x \cdot \left( \frac{E}{R + x} \right)^2 \right] \\ & = & \frac{d}{d x} \left[ x \cdot \frac{E^2}{(R + x)^2} \right] \\ & = & E^2 \cdot \frac{d}{d x} \left[ x \cdot \frac{1}{(R + x)^2} \right] \\ & = & E^2 \cdot \frac{d}{d x} \left[ \frac{x}{(R + x)^2} \right] \\ & = & E^2 \cdot \frac{(R + x)^2 - 2 \cdot x \cdot (R + x)}{(R + x)^4} \\ & = & E^2 \cdot \frac{R^2 + x^2 + 2 \cdot R \cdot x - 2 \cdot x \cdot R - 2 \cdot x^2}{(R + x)^4} \\ & = & E^2 \cdot \frac{R^2 - x^2}{(R + x)^4} \end{array} \] È ora possibile porre uguale a \( 0\) al fine di trovare le soluzioni della derivata prima \begin{aligned} & E^2 \cdot \frac{R^2 - x^2}{(R + x)^4} = 0 & \iff \\ & R^2 - x^2 = 0 & \iff \\ & R^2 = x^2 & \iff \\ & R = x & \overset{R_L = x}{\iff} \\ & R = R_L & \end{aligned} ovvero si ha che la potenza è massima (ndr, è un punto di massimo dato che è una funzione crescente) se \( R = R_L\).
Ora, al fine di calcolare la potenza massima assorbita, si può calcolare \[ \begin{array}{ccl} P_{L, max} & = & P_L \mid_{R_L = R} \\ & = & R \cdot \left( \frac{E}{R + R} \right)^2 \\ & = & R \cdot \frac{E^2}{4 \cdot R^2} \\ & = & \frac{E^2}{4 \cdot R} \end{array} \] che dimostra il teorema.

Dimostrazione - Teorema di Millman

Dato il teorema

Enunciato:

Considerando una rete lineare con più lati collegati in parallelo ai nodi A e B
Immagine
si ha che la tensione ai capi A e B è pari al rapporto tra la sommatoria delle correnti di cortocircuito e la sommatoria delle conduttanze dei lati (ndr, ignorando i lati in cui è presente un generatore di corrente), cioè \[ v_{AB}(t) = \frac{\sum_{j = 1}^n \; {}^{e_j} /_{R_j\;} + \sum_{k = 1}^n i_k(t)}{\sum_{k = 1}^n \; {}^{1} /_{R_k\;}} \]

Nota bene - In altre parole

Considerando
  • le grandezze con pedice \( \ _k\) quelle appartenenti ad un lato con generatori di tensione;
  • le grandezze con pedice \( \ _i\) quelle appartenenti ad un lato senza generatori;
  • le grandezze con pedice \( \ _m\) quelle appartenenti ad un lato con generatori di corrente
allora si ha che la tensione ai capi A e B di una serie di lati in parallelo è uguale a \[ v_{AB}(t) = \frac{\sum_{k = 1}^{\#} \; {}^{e_k} /_{R_k\;} + \sum_{m = 1}^{\#} I_m}{\sum_{k = 1}^{\#} \; {}^{1} /_{R_k\;} + \sum_{i = 1}^{\#} \; {}^{1} /_{R_i\;}} \]

Dimostrazione:visibility_off

Per "dimostrare" questo teorema, consideriamo il seguente circuito
Immagine
si ha che è possibile considerare di applicare LKC al nodo A. Si ha infatti che \[ A: \quad i_1(t) - i_2(t) + i_3(t) - i_4(t) = 0 \] ed è necessario calcolare
  • per il primo lato si ha che \[ v_{AB}(t) = E_1 - R_1 \cdot i_1(t) \] ed è quindi possibile dedurre \[ i_1(t) = \frac{E_1 - v_{AB}(t)}{R_1} \]
  • per il secondo lato, si ha che \[ v_{AB}(t) = -E_2 + R_2 \cdot i_2(t) \] ed è quindi possibile dedurre \[ i_2(t) = \frac{v_{AB}(t) + E_2}{R_2} \]
  • per il terzo lato, si ha che \[ i_3(t) = I_3 \]
  • per il quarto lato, si ha che \[ i_4(t) = \frac{v_{AB}(t)}{R_4} \]
Sostituendo ora a LKC i valori calcolati, si ottiene che: \begin{aligned} & i_1(t) - i_2(t) + i_3(t) - i_4(t) = 0 & \iff \\ & \frac{E_1 - v_{AB}(t)}{R_1} - \frac{v_{AB}(t) + E_2}{R_2} + I_3 - \frac{v_{AB}(t)}{R_4} = 0 & \iff \\ & \; {}^{E_1} /_{R_1\;} - \; {}^{v_{AB}(t)} /_{R_1\;} - \; {}^{v_{AB}(t)} /_{R_2\;} - \; {}^{E_2} /_{R_2\;} + I_3 - \; {}^{v_{AB}(t)} /_{R_4\;} = 0 & \iff \\ & v_{AB}(t) \cdot \left( \; {}^{1} /_{R_1\;} - \; {}^{1} /_{R_2\;} - \; {}^{1} /_{R_4\;} \right) + \; {}^{E_1} /_{R_1\;} - \; {}^{E_2} /_{R_2\;} + I_3 = 0 & \iff \\ & -v_{AB}(t) \cdot \left( \; {}^{1} /_{R_1\;} + \; {}^{1} /_{R_2\;} + \; {}^{1} /_{R_4\;} \right) = -\; {}^{E_1} /_{R_1\;} + \; {}^{E_2} /_{R_2\;} - I_3 & \iff \\ & v_{AB}(t) \cdot \left( \; {}^{1} /_{R_1\;} + \; {}^{1} /_{R_2\;} + \; {}^{1} /_{R_4\;} \right) = \; {}^{E_1} /_{R_1\;} - \; {}^{E_2} /_{R_2\;} + I_3 & \iff \\ & v_{AB}(t) = \frac{\; {}^{E_1} /_{R_1\;} - \; {}^{E_2} /_{R_2\;} + I_3}{\; {}^{1} /_{R_1\;} + \; {}^{1} /_{R_2\;} + \; {}^{1} /_{R_4\;}} & \end{aligned} che è esattamente la formula ottenuta applicando il teorema di Millman.

Esempio - Applicazione del teorema di Millman

expand_more
keyboard_double_arrow_down