Elettrotecnica - Circuiti magnetici

Definizione - Flusso concatenato

Considerando il caso di diverse spire in cui vi è passaggio di corrente, se sono poste ad una distanza ravvicinata si ha che il campo magnetico generato da una può generare una corrente in un'altra che a sua volta genererà un campo magnetico: in questa situazione è possibile definire il concetto di flusso concatenato con la $ j$-esima spira.
In particolare, si ha che il flusso concatenato con la $ j$-esima spira $ \Phi_{Cj}$ è uguale alla sommatoria dei flussi concatenati alla $ j$-esima spira generati da tutte le spire, ovvero

\Phi_{Cj} = \sum_{k = 1}^{\#} \Phi_{Cj,k}

dove con $ \Phi_{Cj,k}$ si indica il flusso concatenato alla $ j$-esima spira generato dalla $ k$-esima spira.

Definizione - Coefficiente di auto e mutua induzione

Considerando il flusso concatenato nella $ j$-esima spira e ipotizzando l'utilizzo di un "materiale lineare" per cui è possibile ottenere una relazione di linearità tra il flusso generato $ \Phi$ e la corrente $ i$, si ha che è possibile definire il flusso concatenato con la $ j$-esima spira uguale a

\begin{array}{ccl} \Phi_{Cj} & = & \sum_{k = 1}^{\#} \Phi_{Cj,k} \\ & = & \sum_{k = 1}^{\#} M_{j, k} \cdot i_k \\ \end{array}

dove $ M$ è un coefficiente che informa dell'interazione magnetica tra due spire.
In particolare, si ha che:

se $ j = k$ si ha un coefficiente di autoinduzione (e di solito è indicato come $ L_j$);
se $ j \neq k$ si ha un coefficiente di mutua induzione (e si ha che $ M_{j,k} = M_{k, j}$).

Nota bene - Relazione lineare

Nelle ipotesi iniziali si è considerato un materiale lineare al fine di ottenere una relazione lineare tra flusso $ \Phi$ e corrente $ i$. I materiali tuttavia non sono lineari ma saturano. È possibile comunque approssimare ad una relazione lineare nel caso di materiale dolci il cui ciclo di isteresi è ridotto (ndr, si ha infatti che vi è linearità tra campo magnetico $ \underline{H}$ e corrente $ i$ per la legge di Ampere e vi è linearità tra flusso $ \Phi$ e vettore induzione magnetica $ \underline{B}$, l'unico "anello mancante" è la linearità tra flusso e corrente dovuto al ciclo di isteresi). Al fine di rendere la relazione la "più lineare possibile", si utilizzano materiali dolci.

Definizione - Forza elettromotrice trasformatorica e mozionale

Considerando il caso di due spire poste a distanza ravvicinata, nel caso una corrente $ i_1$ attraversi la prima spira, sarà generato un flusso concatenato alla seconda spira, indicato con $ \Phi_{C2,1}$. In questo caso, secondo la legge di Faraday, nella seconda spira si genera una forza elettromotrice

fem_2 = -\frac{d \Phi_{C21}}{dt}

Affinchè tale forza non sia nulla, è possibile che:

vi sia una variazione nel tempo delle sorgenti del campo. Si ha quindi che al variare della corrente $ i_1$ (e quindi $ \frac{d}{dt}i_1(t) \neq 0$) si ha una variazione del campo magnetico indotto $ B_{1}$ (e quindi $ \frac{\partial}{\partial t} \underline{B}_1 \neq 0 $). Tale cambimaneto comporterà una variazione nel flusso magnetico $ \Phi_1$ (e quindi $ \frac{\partial}{\partial t} \Phi_1 \neq 0$) che comporta una variazione nel flusso concatenato alla seconda spira $ \Phi_{C2,1}$ (e quindi $ \frac{\partial}{\partial t} \Phi_{C2,1}$). Si ottiene quindi una forza elettromotrice detta trasformatorica (su cui si basano i trasformatori);
vi sia uno spostamento dei due avvolgimenti. In questo caso si parla di forza elettromotrice mozionale (su cui si basano le macchine elettriche).

Definizione - Trasformatore monofase

Il trasformatore monofase

è una macchina elettrica che permette di trasferire potenza tra l'avvolgimento primario e l'avvolgimento secondario attraverso un flusso magnetico.

Caratteristiche

Il trasformatore è costituito da

un avvolgimento primario, caratterizzato da $ N_1$ spire;
un avvolgimento secondario, caratterizzato da $ N_2$ spire;
un nucleo di permeabilità magnetica $ \mu_R$.

Inoltre, è

una macchina statica (senza parti in movimento);
una macchina reversibile (è possibile utilizzare l'avvolgimento secondario come primario e viceversa);
nel trasferimento, tensione e corrente possono variare (tipicamente nei tratti estesi si aumenta la tensione mentre nei carichi si aumenta la corrente);
non genera energia;
funziona solamente in corrente alternata, dato che per la legge di Faraday si ha che la forza elettromotrice indotta è uguale a $ \frac{\partial \Phi_C}{\partial t}$ (ed è quindi necessaria una variazione del flusso);
considerando $P_2 = \eta \cdot P_1$ dove $ \eta$ è detto rendimento, si ha che è caratterizzato da un rendimento elevato, in quanto tipicamente nella realtà si ha che $ \eta \gt 0.98$ (in un trasformatore ideale si avrebbe che $ \eta = 1$).

Minimizzare le perdite

Nel trasformatore monofase

è possibile identificare i seguenti flussi magnetici:

$ \Phi$ è il flusso principale;
$ \Phi_{D1}$ è il flusso disperso dal primo avvolgimento;
$ \Phi_{D2}$ è il flusso disperso dal secondo avvolgimento.

Per minimizzare il flusso disperso, si utilizza un trasformatore con nucleo a mantello, caratterizzato da una colonna centrale attorno cui sono avvolti i due avvolgimenti.
Altre perdite sono quelle dovute al ciclo di isteresi e sono dipendenti dalla frequenza $ f$ e dal materiale. Al fine di diminuire tali perdite, si utilizzano materiali dolci.
Sono da considerare inoltre le perdite dovute alle correnti parassite. Per diminuirle, consideriamo la legge di Ohm

I = \frac{\underline{V}}{R_{mat}}

Tale legge è quindi caratterizzata dalla resistenza del materiale $ R_{mat}$

R_{mat} = \frac{L}{\sigma \cdot S}

dove:

$ L$ è la lunghezza del materiale;
$ \sigma$ è la conduttività elettrica (caratteristica del materiale), uguale al reciproco della resistività $ \rho$;
$ S$ è la superficie della sezione del materiale.

Dato che l'obiettivo è aumentare la resistenza del materiale e che, per farlo, è necessario diminuire la sezione $ S$, in quanto la lunghezza $ L$ è legata al progetto magnetico ed è possibile diminuire solo in parte la conduttività del materiale attraverso il drogaggio (dato che si altererebbe anche la permeabilità magnetica). Per farlo si utilizza un nucleo a lamierini (la cui sezione è minore) isolati elettricamente.

Equazioni del trasformatore

Al fine di calcolare le equazioni $ v_1(t)$ e $ v_2(t)$ in un trasformatore monofase reale, consideriamo il caso di un trasformatore ideale.
Per la legge di Faraday, sappiamo che

v_1(t) = \frac{\partial}{\partial t} \Phi_{C1}

Considerando ora un "materiale lineare", si ha che

\Phi_{C1} = L_1 \cdot i_1(t) + M_{1,2} \cdot i_2(t)

dove $ L_1$ è il coefficiente di autoinduzione mentre $ M_{1,2}$ è il coefficiente di mutua induzione. Sostituendo questo risultato alla tensione $ v_1(t)$ si ottiene che

\begin{array}{ccl} v_1(t) & = & \frac{\partial}{\partial} \Phi_{C1} \\ & = & \frac{\partial}{\partial t} \left[ L_1 \cdot i_1(t) + M_{1,2} \cdot i_2(t) \right] \\ & = & L_1 \cdot \frac{\partial}{\partial t} i_1(t) + M_{1,2} \cdot \frac{\partial}{\partial t} i_2(t) \end{array}

È ora tuttavia necessario considerare che nel trasformatore reale sono presenti anche ulteriori contributi, ovvero

v_1(t) = L_1 \cdot \frac{\partial}{\partial t} i_1(t) + M_{1,2} \cdot \frac{\partial}{\partial t} i_2(t) + \frac{\partial}{\partial t} \Phi_{D1} + R_1 \cdot i_1(t)

dove $ \frac{\partial}{\partial t} \Phi_{D1}$ è il contributo del flusso disperso mentre $ R_1 \cdot i_1(t)$ è dovuto alla caduta ohmica sul materiale.
Considerando ora che è possibile considerare

\Phi_{D1} = L_{D1} \cdot i_1(t)

dove $ L_{D1}$ è detta induttanza di dispersione, si ottiene la seguente equazione

\begin{array}{ccl} v_1(t) & = & L_1 \cdot \frac{\partial}{\partial t} i_1(t) + M_{1,2} \cdot \frac{\partial}{\partial t} i_2(t) + \frac{\partial}{\partial t} \Phi_{D1} + R_1 \cdot i_1(t) \\ & = & L_1 \cdot \frac{\partial}{\partial t} i_1(t) + M_{1,2} \cdot \frac{\partial}{\partial t} i_2(t) + \frac{\partial}{\partial t} \left[ L_{D1} \cdot i_1(t) \right] + R_1 \cdot i_1(t) \\ & = & L_1 \cdot \frac{\partial}{\partial t} i_1(t) + M_{1,2} \cdot \frac{\partial}{\partial t} i_2(t) + L_{D1} \cdot \frac{\partial}{\partial t} i_1(t) + R_1 \cdot i_1(t) \end{array}

Considerando di ripetere il ragionamento per $ v_2(t)$, che $ M_{1,2} = M_{2,1} = M$, si ha che le equazioni del trasformatore sono le seguenti

\left\{ \begin{array}{ccl} v_1(t) & = & L_1 \cdot \frac{d}{d t} i_1(t) + M \cdot \frac{d}{d t} i_2(t) + L_D \cdot \frac{d}{d t} i_1(t) + R_1 \cdot i_1(t) \\ v_2(t) & = & L_2 \cdot \frac{d}{d t} i_2(t) + M \cdot \frac{d}{d t} i_1(t) - L_D \cdot \frac{d}{d t} i_2(t) - R_2 \cdot i_2(t) \end{array} \right.

Rappresentazione a parametri concentrati

Dato il trasformatore, si ha che è possibile considerare la seguente rappresentazione a parametri concentrati

e considerare di applicare LKT, ottenendo

LKT: \quad N_1 \cdot I_1 - \mathcal{R}_{mat} \cdot \Phi - N_2 \cdot I_2

da cui è possibile dedurre che

\mathcal{R}_{mat} \cdot \Phi = N_1 \cdot I_1 - N_2 \cdot I_2

Definizione - Trasformatore monofase ideale

Considerando un trasformatore monofase ideale, il cui simbolo è il seguente

è un trasformatore monofase in cui si considera che

R_1 = R_2 = L_D = \mathcal{R}_{math} = 0

Si ha quindi che le equazioni del trasformatore si riducono a

\left\{ \begin{array}{ccl} v_1(t) & = & N_1 \cdot \frac{\partial}{\partial t} \Phi \\ v_2(t) & = & N_2 \cdot \frac{\partial}{\partial t} \Phi \end{array} \right.

È possibile calcolare il rapporto di trasformazione $ k$ come il rapporto tra la tensione $ v_1(t)$ e la tensione $ v_2(t)$, ottenendo che

\begin{array}{ccl} k & = & \frac{v_1(t)}{v_2(t)} \\ & = & \frac{N_1 \cdot \frac{\partial}{\partial t} \Phi}{N_2 \cdot \frac{\partial}{\partial t} \Phi} \\ & = & \frac{N_1}{N_2} \end{array}

Considerando ora la rappresentazione a parametri concentrati per cui

N_1 \cdot I_1 - N_2 \cdot I_2 = \overbrace{\mathcal{R}_{mat}}^0 \cdot \Phi \quad \implies \quad N_1 \cdot I_1 - N_2 \cdot I_2 = 0

è possibile dedurre che il rapporto tra le correnti è il reciproco di $ k$, ovvero

N_1 \cdot I_1 = N_2 \cdot I_2 \qquad \implies \qquad \frac{I_1}{I_2} = \frac{N_2}{N_1} = \frac{1}{k}

Macchine elettriche